数学公式

更新日：2022年3月18日

数学公式

代数

・一次方程式

　 $a x +b =0$ の根

$x=- \frac{b}{a}$

・二次方程式

　 $a x^2 +bx+c =0$ の根

$x= \frac{-b \pm \sqrt{ b^2 -4ac }}{2a}$

・三次方程式

　 $a x^3 +bx^2+cx +d =0$ の根

ここで

$\displaystyle p= - \frac{-b^2}{3a^2} + \frac{c}{a}$ , $\displaystyle q= \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a}$

とおけば

$x=- \frac{b}{3a}+ \sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+\left(4p^3/27 \right)}}{2}}+ \sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+\left(4p^3/27 \right)}}{2}}$

$x=- \frac{b}{3a}+ \sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+\left(4p^3/27 \right)}}{2}} \cdot \omega + \sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+\left(4p^3/27 \right)}}{2}} \cdot \omega^2$

$x=- \frac{b}{3a}+ \sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+\left(4p^3/27 \right)}}{2}} \cdot \omega^2+ \sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+\left(4p^3/27 \right)}}{2}} \cdot \omega$

ただし

$\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \hspace{50pt} \left(\omega^3=1 \right)$

級数展開

$\left( 1+x \right)^n =1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}+ \cdots \hspace{15pt}\left( |x| \lt 1 \right)$

$e^x =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!} \cdots$

$\ln(1+x) =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4} \cdots \hspace{105pt} \left( -1 \gt x \le 1 \right)$

$\sin(x) =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!} \cdots$

$\cos(x) =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!} \cdots$

三角関数

・負角公式

$\sin(-\theta ）= - \sin \theta$

$\cos(-\theta ）= \cos \theta$

$\tan(-\theta ）= - \tan \theta$

・加法定理

$\sin(\alpha \pm \beta ）= - \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin\beta$

$\cos(\alpha \pm \beta ）= \cos \alpha \sin \beta \mp \sin \alpha \cos \beta$

$\tan(\alpha \pm \beta ）= \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$

・倍角公式

$\sin(2\theta）= 2 \sin \theta \cos \theta$

$\cos(2\theta）= \cos^2 \theta - \sin^2\theta$

$\sin(3\theta）= 3\sin \theta-4 \sin^3 \theta$

$\cos(3\theta）= 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$

$\sin\frac{\theta}{2}= \sqrt{\frac{1}{2}(1-\cos \theta)}$

$\cos\frac{\theta}{2}= \sqrt{\frac{1}{2}(1+\cos \theta)}$

・複素関数との関係

$\exp(\pm ix）= \cos x \pm i\sin x \hspace{100px} i=\sqrt{-1}$

$\sin x= \frac{e^{x}-e^{-ix}}{2i}$

$\cos x= \frac{e^{x}+e^{-ix}}{2}$

微分

・微分の性質

　 $a{,}\ b$ を定数、 $u{,}\ v$ を微分可能な変数とすると

$\frac{d(au+bv)}{dx}=a\frac{du}{dx}+b\frac{dv}{dx}$

$\frac{d(uv)}{dx}=v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx}$

$\frac{df(u)}{dx}=\frac{df(x)}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

・導関数

$f(x)$	$df(x)/dx$
$e^x$	$e^x$
$x^n$	$nx^{n-1}$
$a^x$	$a^x\ln a$
$x^x$	$x^x (1+\ln x)$
$\ln x$	$1/x$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\sec ^2 x$

積分

・積分の性質

$\int_{a}^{b} \bigl[ \alpha f(x) + \beta g(x) \bigr]dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)dx + \beta \int_{a}^{b}g(x)dx$

$\int f(x)g'(x)dx =f(x)g(x)- \int f'(x)g(x)dx$

$\int f(x)dx = \int f \bigl( \varphi (t) \bigr) \varphi'(t)dx \hspace{100px} x=\varphi (t)$

・不定積分

$\int x^a dx = \frac{1}{a+1}x^{a+1}+c \hspace{100px} (a\ne -1)$

$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln(a)}+c \hspace{100px} ( a\gt0{,} \ a \ne 1)$

$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + c \hspace{100px} (x \ne 0)$

$\int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax} +c \hspace{100px} (a \ne 0)$

$\int xe^{ax} dx = \frac{x}{a} e^{ax}- \frac{1}{a^2} e^{ax} +c \hspace{100px} (a \ne 0)$

$\int \ln(ax) dx = x \bigl[ \ln(ax) -1 \bigr] +c \hspace{100px} (a \ne 0)$

$\int x^n \ln(x) dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\left[ \ln(x) -\frac{1}{n+1} \right] +c \hspace{100px} (n \ne -1)$

$\int \sin(ax) dx = -\frac{1}{a}\cos(ax) +c \hspace{100px} (a \ne 0)$

$\int \cos(ax) dx = \frac{1}{a}\sin(ax) +c \hspace{100px} (a \ne 0)$

$\int \tan(ax) dx = -\frac{1}{a}\ln\bigl[ |\cos(ax)| \bigr] +c \hspace{100px} (ax \ne \pi)$

$\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) +c \hspace{100px} (a \ne 0)$

$\int \frac{1}{a^2-x^2} dx = \frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x} \right|+c \hspace{100px} (a \ne 0)$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx = -\ln \left|x+\sqrt{x^2+a^2} \right| +c \hspace{100px} (a \ne 0)$

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \sin^{-1}\left( \frac{x}{|a|} \right) +c \hspace{100px} (a \ne 0)$

ラプラス変換

　 $t\ge 0$ で定義される関数 $f(t)$ のラプラス変換とは

$F(s)=\int_{0}^{x} e^{-st}f(t)dt$

で定義される関数 $F(s)$ である。ここに $s$ は複素数である。

・ラプラス変換の性質

$\mathcal{L}\bigl[ a_1f_1(t)+a_2f_2(f) \bigr] =a_1\mathcal{L}f_1(t)+ a_2\mathcal{L}f_2(t)$

$\mathcal{L}f(at) =\frac{1}{a}F\left( \frac{s}{a} \right)$

$\mathcal{L}\left[ e^{at}f(t) \right] = F(s-a)$

$\mathcal{L}\bigl[ u(t-a)f(t-a) \bigr] =e^{-as}F(s)$

$\mathcal{L}\left[f'(t)\right] = sF(s) -f(0)$

$\mathcal{L}\left[f''(t)\right] = s^2F(s) -sf(0)-f'(0)$

$\mathcal{L}\left[f^n(t)\right] = s^nF(s) -s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots-sf^{n-2}(0)-f^{n-1}(0)$

$\mathcal{L}\left[ tf(t) \right] =-\frac{d}{s}F(s)$

$\mathcal{L}\left[ \frac{f(t)}{t}\right] =\int_{s}^{\infty}F(s)ds$

$\mathcal{L}\left[ \int_{0}^{t} f_1(t-\tau)f_2(\tau)d\tau \right] =F_1(s)F_2(s)$

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