更新日：2022年3月18日
数学公式
代数
・一次方程式
\( a x +b =0 \) の根
\[ x=- \frac{b}{a} \]
・二次方程式
\( a x^2 +bx+c =0 \) の根
\[ x= \frac{-b \pm \sqrt{ b^2 -4ac }}{2a} \]
・三次方程式
\( a x^3 +bx^2+cx +d =0 \) の根
ここで
\( \displaystyle p= - \frac{-b^2}{3a^2} + \frac{c}{a} \), \( \displaystyle q= \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} \)
とおけば
\[ x=- \frac{b}{3a}+ \sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+\left(4p^3/27 \right)}}{2}}+
\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+\left(4p^3/27 \right)}}{2}} \]
\[ x=- \frac{b}{3a}+ \sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+\left(4p^3/27 \right)}}{2}}
\cdot \omega + \sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+\left(4p^3/27 \right)}}{2}} \cdot \omega^2 \]
\[ x=- \frac{b}{3a}+ \sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+\left(4p^3/27 \right)}}{2}}
\cdot \omega^2+ \sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+\left(4p^3/27 \right)}}{2}} \cdot \omega \]
ただし
\[ \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \hspace{50pt} \left(\omega^3=1 \right)\]
級数展開
\[ \left( 1+x \right)^n =1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}+ \cdots
\hspace{15pt}\left( |x| \lt 1 \right) \]
\[ e^x =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!} \cdots \]
\[ \ln(1+x) =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4} \cdots
\hspace{105pt} \left( -1 \gt x \le 1 \right) \]
\[ \sin(x) =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!} \cdots \]
\[ \cos(x) =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!} \cdots \]
三角関数
・負角公式
\[ \sin(-\theta ）= - \sin \theta \]
\[ \cos(-\theta ）= \cos \theta \]
\[ \tan(-\theta ）= - \tan \theta \]
・加法定理
\[ \sin(\alpha \pm \beta ）= - \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin\beta
\]
\[ \cos(\alpha \pm \beta ）= \cos \alpha \sin \beta \mp \sin \alpha \cos \beta \]
\[ \tan(\alpha \pm \beta ）= \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha
\tan \beta} \]
・倍角公式
\[ \sin(2\theta）= 2 \sin \theta \cos \theta \]
\[ \cos(2\theta）= \cos^2 \theta - \sin^2\theta \]
\[ \sin(3\theta）= 3\sin \theta-4 \sin^3 \theta \]
\[ \cos(3\theta）= 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta \]
\[ \sin\frac{\theta}{2}= \sqrt{\frac{1}{2}(1-\cos \theta)} \]
\[ \cos\frac{\theta}{2}= \sqrt{\frac{1}{2}(1+\cos \theta)} \]
・複素関数との関係
\[ \exp(\pm ix）= \cos x \pm i\sin x \hspace{100px} i=\sqrt{-1} \]
\[ \sin x= \frac{e^{x}-e^{-ix}}{2i} \]
\[ \cos x= \frac{e^{x}+e^{-ix}}{2} \]
微分
・微分の性質
\( a{,}\ b \)を定数、\( u{,}\ v \)を微分可能な変数とすると
\[ \frac{d(au+bv)}{dx}=a\frac{du}{dx}+b\frac{dv}{dx} \]
\[ \frac{d(uv)}{dx}=v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx} \]
\[ \frac{df(u)}{dx}=\frac{df(x)}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]
・導関数
| \( f(x) \) | \( df(x)/dx \) |
|---|---|
| \( e^x \) | \( e^x \) |
| \( x^n \) | \( nx^{n-1} \) |
| \( a^x \) | \( a^x\ln a \) |
| \( x^x \) | \( x^x (1+\ln x) \) |
|
\( \ln x \)
|
\( 1/x \)
|
| \( \sin x \) | \( \cos x \) |
| \( \cos x \) | \( -\sin x \) |
| \( \tan x \) | \( \sec ^2 x \) |
積分
・積分の性質
\[ \int_{a}^{b} \bigl[ \alpha f(x) + \beta g(x) \bigr]dx = \alpha \int_{a}^{b}
f(x)dx + \beta \int_{a}^{b}g(x)dx \]
\[ \int f(x)g'(x)dx =f(x)g(x)- \int f'(x)g(x)dx \]
\[ \int f(x)dx = \int f \bigl( \varphi (t) \bigr) \varphi'(t)dx \hspace{100px}
x=\varphi (t) \]
・不定積分
\[ \int x^a dx = \frac{1}{a+1}x^{a+1}+c \hspace{100px} (a\ne -1) \]
\[ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln(a)}+c \hspace{100px} ( a\gt0{,} \ a \ne 1) \]
\[ \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + c \hspace{100px} (x \ne 0) \]
\[ \int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax} +c \hspace{100px} (a \ne 0) \]
\[ \int xe^{ax} dx = \frac{x}{a} e^{ax}- \frac{1}{a^2} e^{ax} +c \hspace{100px} (a \ne 0) \]
\[ \int \ln(ax) dx = x \bigl[ \ln(ax) -1 \bigr] +c \hspace{100px} (a \ne 0) \]
\[ \int x^n \ln(x) dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\left[ \ln(x) -\frac{1}{n+1} \right] +c \hspace{100px} (n \ne -1) \]
\[ \int \sin(ax) dx = -\frac{1}{a}\cos(ax) +c \hspace{100px} (a \ne 0) \]
\[ \int \cos(ax) dx = \frac{1}{a}\sin(ax) +c \hspace{100px} (a \ne 0) \]
\[ \int \tan(ax) dx = -\frac{1}{a}\ln\bigl[ |\cos(ax)| \bigr] +c \hspace{100px} (ax \ne \pi) \]
\[ \int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) +c \hspace{100px} (a \ne 0) \]
\[ \int \frac{1}{a^2-x^2} dx = \frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x} \right|+c \hspace{100px} (a \ne 0) \]
\[ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx = -\ln \left|x+\sqrt{x^2+a^2} \right| +c \hspace{100px} (a \ne 0) \]
\[ \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \sin^{-1}\left( \frac{x}{|a|} \right) +c \hspace{100px} (a \ne 0) \]
ラプラス変換
\( t\ge 0 \) で定義される関数\( f(t) \)のラプラス変換とは
\[ F(s)=\int_{0}^{x} e^{-st}f(t)dt \]
で定義される関数\( F(s) \) である。ここに\( s \)は複素数である。
・ラプラス変換の性質
\[ \mathcal{L}\bigl[ a_1f_1(t)+a_2f_2(f) \bigr] =a_1\mathcal{L}f_1(t)+ a_2\mathcal{L}f_2(t) \]
\[ \mathcal{L}f(at) =\frac{1}{a}F\left( \frac{s}{a} \right) \]
\[ \mathcal{L}\left[ e^{at}f(t) \right] = F(s-a) \]
\[ \mathcal{L}\bigl[ u(t-a)f(t-a) \bigr] =e^{-as}F(s) \]
\[ \mathcal{L}\left[f'(t)\right] = sF(s) -f(0) \]
\[ \mathcal{L}\left[f''(t)\right] = s^2F(s) -sf(0)-f'(0) \]
\[ \mathcal{L}\left[f^n(t)\right] = s^nF(s) -s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots-sf^{n-2}(0)-f^{n-1}(0) \]
\[ \mathcal{L}\left[ tf(t) \right] =-\frac{d}{s}F(s) \]
\[ \mathcal{L}\left[ \frac{f(t)}{t}\right] =\int_{s}^{\infty}F(s)ds \]
\[ \mathcal{L}\left[ \int_{0}^{t} f_1(t-\tau)f_2(\tau)d\tau \right] =F_1(s)F_2(s) \]
冷 凍
冷 媒
湿り空気
伝 熱
地球環境
データ集